Линейное однородное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами записывается в виде где a₁(x) и a₂(x) являются непрерывными функциями на отрезке [a,b]. Функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) называются линейно зависимыми на отрезке [a,b], если существуют постоянныеα₁, α₂, ..., α_n, одновременное не равные нулю, такие, что для всех значений x из этого отрезка справедливо тождество Если же это тождество выполняется лишь при α₁ = α₁ = ... = α_n = 0, то указанные функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)называются линейно независимыми на отрезке [a,b]. 

Для случая двух функций критерий линейной независимости можно записать в более простом виде: Функцииy₁(x), y₂(x) будут линейно независимыми на отрезке [a,b], если их отношение на данном отрезке тождественно не равно постоянной: В противном случае, при , эти функции будут линейно зависимыми. 

Пусть n функций y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) имеют производные (n − 1) порядка. Определитель называется определителем Вронского или вронскианом для указанной системы функций. 

Теорема. Если система функций y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) линейна зависима на отрезке [a,b], то ее определитель Вронского тождественно равен нулю на этом отрезке. 

Отсюда следует, что если определитель отличен от нуля хотя бы в одной точке отрезка [a,b], то функцииy₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) будут линейно независимыми. Это свойство определителя Вронского позволяет выяснить, являются ли найденные решения однородного дифференциального уравнения линейно независимыми. Совокупность двух линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка образует его фундаментальную систему решений. 

Если y₁(x), y₂(x) − фундаментальная система решений, то общее решение уравнения второго порядка представляется в виде где C₁, C₂ − произвольные постоянные. 

Заметим, что по заданной фундаментальной системе решений y₁(x), y₂(x) можно построить соответствующее однородное дифференциальное уравнение. Для случая второго порядка такое уравнение выражается через определитель в виде: Итак, как указано выше, общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка является линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y₁(x), y₂(x) этого уравнения. 

Очевидно, что частные решения зависят от коэффициентов дифференциального уравнения. Формула Лиувилля-Остроградского устанавливает связь между вронскианом W(x), построенном на базе частных решений y₁(x), y₂(x), и коэффициентом a₁(x) в дифференциальном уравнении. 

Пусть W(x) − определитель Вронского решений y₁(x), y₂(x) линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка в котором функции a₁(x) и a₂(x) непрерывны на отрезке [a,b]. Пусть точка x₀ принадлежит отрезку [a,b]. Тогда для всех  справедлива формула Лиувилля-Остроградского: К сожалению, общего метода отыскания частного решения не существует. Обычно это можно сделать путем подбора. 

Если известно частное решение y₁(x) ≠ 0 линейного однородного уравнения второго порядка, то его можно преобразовать к линейному уравнению первого порядка с помощью подстановки y = y₁(x)z(x) и последующей замены z'(x) = u. 

Другой способ понижения порядка основан на использовании формулы Лиувилля-Остроградского. Здесь также одно частное решение y₁(x) должно быть известно. Соответствующие примеры разобраны ниже. 
 

Исследовать, являются ли функции  y₁(x) = x + 2,  y₂(x) = 2x − 1 линейно независимыми. Составим отношение двух функций: Видно, что это отношение не равно постоянному числу, а зависит от x. Следовательно, данные функции линейно независимые. 

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами имеет вид где a₁(x), a₂(x) и f(x) − непрерывные функции на отрезке [a,b]. 

Соответствующее однородное уравнение записывается в виде Общее решение неоднородного уравнения представляет собой сумму общего решения y₀(x) ассоциированного однородного уравнения и частного решения Y(x) неоднородного уравнения: Для построения общего решения неоднородного уравнения чаще всего используют следующий подход:

1. Сначала путем подбора находят частное решение однородного уравнения.


2. Затем по формуле Лиувилля-Остроградского получают общее решение однородного уравнения.


3. Далее методом вариации постоянных (методом Лагранжа) определяют общее решение неоднородного уравнения.

Первые два пункта описанной схемы рассмотрены на странице Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Ниже мы рассмотрим подробнее третий шаг, то естьметод вариации постоянных. Метод вариации постоянных (или метод Лагранжа) используется для построения общего решения неоднородного уравнения, когда известно общее решение ассоциированного с ним однородного уравнения. 

Пусть общее решение однородного уравнения 2-го порядка выражается через фундаментальную систему решений  y₁(x) и y₂(x): где C₁, C₂ − произвольные постоянные. Идея данного метода состоит в том, что вместо постоянных C₁ и C₂рассматриваются функции C₁(x) и C₂(x), которые подбираются таким образом, чтобы решение удовлетворяло неоднородному уравнению. 

Производные неизвестных функций C₁(x) и C₂(x) можно определить из системы уравнений Главным определителем этой системы является вронскиан функций y₁ и y₂, который не равен нулю в силу линейной независимости решений y₁ и y₂. Поэтому данная система уравнений всегда имеет однозначное решение. Окончательные формулы для C₁' (x) и C₂' (x) имеют вид Применяя метод вариации параметров, важно помнить, что функция f(x) должна соответствовать дифференциальному уравнению, приведенному к стандартному виду, т.е. коэффициент a₀(x) перед старшей производной должен быть равен 1. 

Далее, зная производные C₁' (x) и C₂' (x), можно найти и сами функции C₁(x) и C₂(x): где A₁, A₂ − постоянные интегрирования. 

Тогда общее решение исходного неоднородного уравнения будет выражаться формулой в которой обозначает частное решение неоднородного уравнения. 
 

Найти общее решение дифференциального уравнения  x²y'' − 2xy' + 2y = x² + 1 (при x > 0). Рассмотрим сначала однородное уравнение и построим его фундаментальную систему решений. Можно заметить, что одним из решений однородного уравнения является функция y₁ = x. Найдем второе независимое решение y₂ по формуле Лиувилля-Остроградского: Следовательно, Делим обе части уравнения на y₁²: После интегрирования имеем Итак, общее решение однородного уравнения выражается функцией где C₁, C₂ − произвольные постоянные. 

Теперь воспользуемся методом вариации постоянных и построим общее решение неоднородного уравнения. Будем рассматривать параметры C₁ и C₂ как функции от переменной x. Производные этих функций определяются из системы уравнений Здесь правая часть  во втором уравнении записана после преобразования исходного дифференциального уравнения в стандартную форму: Решая данную систему уравнений, находим производные C₁' (x), C₂' (x) и затем сами функции C₁(x) и C₂(x). Имеем где A₁, A₂ − постоянные интегрирования. 

В результате получаем общее решение неоднородного уравнения в виде