В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде где F − заданная функция указанных аргументов. 

Если дифференциальное уравнение можно разрешить относительно второй производной y'', то его можно представить в следующем явном виде: В частных случаях функция f в правой части может содержать лишь одну или две переменных. Такиенеполные уравнения включают в себя 5 различных типов: С помощью определенных подстановок эти уравнения можно преобразовать в уравнения первого порядка. 

В случае произвольных дифференциальных уравнений второго порядка, их порядок можно понизить, если эти уравнения обладают определенной симметрией. Ниже мы обсудим 2 типа таких уравнений (случаи 6 и 7):

• Функция F(x, y, y', y'') является однородной функцией аргументов y, y', y'';


• Функция F(x, y, y', y'') является точной производной функции первого порядка Ф(x, y, y').

Итак, рассмотрим указанные случаи понижения порядка более подробно. Если дано уравнение y'' = f(x), то его порядок можно понизить введением новой функции p(x), такой, чтоy' = p(x). В результате мы получим дифференциальное уравнение первого порядка Решая его, находим функцию p(x). Затем решаем второе уравнение и получаем общее решение исходного уравнения. Здесь правая часть уравнения зависит только от переменной y. Вводим новую функцию p(y), полагаяy' = p(y). Тогда можно записать: и уравнение принимает вид: Решая его, находим функцию p(y). Затем находим решение уравнения y' = p(y), то есть функцию y(x). В данном случае для понижения порядка вводим функцию y' = p(x) и получаем уравнение которое является уравнением первого порядка с разделяющимися переменными p и x. Интегрируя, находим функцию p(x) и затем функцию y(x). Используем подстановку y' = p(x), где p(x) − новая неизвестная функция, и получаем уравнение первого порядка Интегрируя, определяем функцию p(x). Далее решаем еще одно уравнение 1-го порядка и находим общее решение y(x). Для решения такого уравнения, также как и в случае 2, вводим новую функцию p(y), полагая y' = p(y). Дифференцирование этого равенства по x приводит к уравнению В результате наше исходное уравнение записывается в виде уравнения 1-го порядка Решая его, находим функцию p(y). Затем решаем еще одно уравнение первого порядка и определяем общее решение y(x). 


Рассмотренные 5 случаев понижения порядка не являются независимыми. Исходя из структуры уравнений, ясно, что случай 2 следует из случая 5, а случай 3 вытекает из более общего случая 4. Если левая часть дифференциального уравнения удовлетворяет условию однородности, т.е. для любого k справедливо соотношение то порядок уравнения можно понизить с помощью подстановки После нахождения функции z(x) исходная функция y(x) находится интегрированием по формуле где C₂ − постоянная интегрирования. Если удается найти такую функцию Ф(x, y, y'), не содержащую второй производной y'' и удовлетворяющую равенству то решение исходного уравнения представляется интегралом Таким образом уравнение второго порядка можно привести к уравнению первого порядка. 

В некоторых случаях левую часть исходного уравнения можно преобразовать в точную производную, используя интегрирующий множитель. 
 

Решить уравнение  y'' = sin x + cos x. Данный пример относится к случаю 1. Введем функцию y' = p(x). Тогда  y'' = p'. Следовательно, Интегрируя, находим функцию p(x): Учитывая, что y' = p(x), проинтегрируем еще одно уравнение 1-го порядка: Последняя формула представлят собой общее решение исходного дифференциального уравнения. 

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида где p, q − постоянные коэффициенты. 

Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение: Обшее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи:

1. Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D > 0. Тогда корни характеристического уравнения k₁ и k₂ действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией
   
   где C₁ и C₂ − произвольные действительные числа. 
    
2. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D = 0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k₁ второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:
   
3. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D < 0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k₁ = α + βi, k₁ = α − βi. Общее решение записывается в виде
   


4. Рассмотренные три случая удобно представить в виде таблицы:

Решить дифференциальное уравнение  y'' − 6y' + 5y = 0. Запишем сначала соответствующее характеристическое уравнение: Корни данного уравнения равны k₁ = 1, k₂ = 5. Поскольку корни действительны и различны, общее решение будет иметь вид: где C₁ и C₂ − произвольные постоянные. 
 

Найти общее решение дифференциального уравнения  y'' − 6y' + 9y = 0. Вычислим корни характеристического уравнения: Как видно, характеристическое уравнение имеет один корень второго порядка: k₁ = 3. Поэтому общее решение дифференциального уравнения определяется формулой где C₁, C₂ − произвольные действительные числа. 
 

Решить дифференциальное уравнение  y'' − 4y' + 5y = 0. Сначала запишем соответствующее характеристическое уравнение и определим его корни: Таким образом, характеристическое уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней: k₁ = 2 + i,k₂ = 2 − i. В этом случае общее решение выражается формулой где C₁, C₂ − произвольные постоянные. 

Линейное неоднородное уравнение данного типа имеет вид: где p, q − постоянные числа (которые могут быть как действительными, так и комплексными). Для каждого такого уравнения можно записать соответствующее однородное уравнение: Теорема: Общее решение неоднородного уравнения является суммой общего решения y₀(x)соответствуюшего однородного уравнения и частного решения y₁(x) неоднородного уравнения: Ниже мы рассмотрим два способа решения неоднородных дифференциальных уравнений. Если общее решение y₀ ассоциированного однородного уравнения известно, то общее решение неоднородного уравнения можно найти, используя метод вариации постоянных. 

Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид: Вместо постоянных C₁ и C₂ будем рассматривать вспомогательные функции C₁(x) и C₂(x). Будем искать эти функции такими, чтобы решение удовлетворяло неоднородному уравнению с правой частью f(x). 

Неизвестные функции C₁(x) и C₂(x) определяются из системы двух уравнений: Правая часть f(x) неоднородного дифференциального уравнения часто представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию, или некоторую комбинацию указанных функций. В этом случае решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов. 

Подчеркнем, что данный метод работает лишь для ограниченного класса функций в правой части, таких как

1. 


2.  
   где P_n(x) и Q_m(x) − многочлены степени n и m, соответственно.

В обоих случаях выбор частного решения должен соответствовать структуре правой части неоднородного дифференциального уравнения. 

В случае 1, если число α в экспоненциальной функции совпадает с корнем характеристического уравнения, то частное решение будет содержать дополнительный множитель x^s, где s − кратность корня α в характеристическом уравнении. 

В случае 2, если число α + βi совпадает с корнем характеристического уравнения, то выражение для частного решения будет содержать дополнительный множитель x. 

Неизвестные коэффициенты можно определить подстановкой найденного выражения для частного решения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение. Если правая часть неоднородного уравнения представляет собой сумму нескольких функций вида то частное решение дифференциального уравнения также будет являться суммой частных решений, построенных отдельно для каждого слагаемого в правой части. 
 

Решить дифференциальное уравнение  y'' + y = sin(2x). Сначала мы решим соответствующее однородное уравнение  y'' + y = 0. В данном случае корни характеристического уравнения являтся чисто мнимыми: Следовательно, общее решение однородного уравнения определяется выражением Вернемся снова к неоднородному уравнению. Будем искать его решение в виде используя метод вариации постояных. 

Функции C₁(x) и C₂(x) можно найти из следующей системы уравнений: Тогда Выразим производную C₁' (x) из первого уравнения: Подставляя во второе уравнение, находим производную C₂' (x): Отсюда следует, что Интегрируя выражения для производных C₁' (x) и C₂' (x), получаем: где A₁, A₂ − постоянные интегрирования. 

Теперь подставим найденные функции C₁(x) и C₂(x) в формулу для