Дифференциальные уравнения

1 Уравнения, допускающие понижение порядка

Теоретическая справка

Уравнения вида

(1.1)

решается путем n – кратного интегрирования.

Уравнение

, (1.2)

не содержащее искомой функции y, подстановкой

, (1.3)

где- низшая из производных, сводится к уравнению

, (1.4)

порядок которого равен .

Уравнение

, (1.5)

не содержащее независимой переменной , также допускает понижение порядка с помощью подстановки

Пример1.1

Решить уравнение .

Решение (аналитическое)

В левой части этого уравнения стоит третья производная искомой функции, в правой – функция только от , это уравнение вида (1.1).

Т.к. , то , , откуда

Поскольку , то последнее уравнение можно переписать так:

, , откуда

или

Интегрируя еще раз, находим общее решение исходного уравнения

Решение в среде MATLAB.

(Синтаксис команд MATLAB будет приведен ниже.)

1.Решим уравнение аналитически

>> dsolve('D3y=t*2')

ans =

1/12*t^4+1/2*C1*t^2+C2*t+C3.

Как видно, ответ совпадает с точностью до названия переменной.

2.Решим уравнение численно и построим его график.

Для этого необходимо составить задачу Коши (т.е. задать начальные условия),

а также интервал интегрирования и построения графика.

Создаем m.- файл, где задаем условие уравнения:

Задаем интервал интегрирования, начальные условия, и производим поиск решения.

>> tspan=[0 20];

>> y0=[1 1 1];

>> [t,y]=ode45('ex11',tspan,y0);

>> plot(t,y)

Пример 1.2

Решить уравнение .

Решим уравнение аналитически

Это уравнение вида (1.2) , для которого , .

Принимая низшую производную за новую неизвестную функцию , осуществим подстановку (1.3):

откуда . Т.о., данное уравнение сводится к уравнению первого порядка относительно :

или ,

из которого получаем

в котором правая часть зависит только от , т.е. уравнение вида(1.1).

Трижды интегрируя, получаем соответственно:

;

или

где

, .

Решение в среде MATLAB

1.Решим уравнение аналитически

>> dsolve('D4y*t+D3y=0')

ans =

C1+C2*t+C3*t^2+C4*t^2*log(t)

2.Решим уравнение численно и построим его график.

Для этого необходимо составить задачу Коши (т.е. задать начальные условия),

а также интервал интегрирования и построения графика.

Создаем m.- файл, где задаем условие уравнения:

Для избежания деления на 0 и “зацикливания” программы, добавляем к t малую величину 0,0000001, не влияющую, в общем, на численное решение.

Задаем интервал интегрирования, начальные условия, и производим поиск решения.

>> y0=[1 1 1 1];

>> tspan=[0 20];

>> [T,Y]=ode45('ex12',tspan,y0);

>> plot(T,Y(:,1))

Пример 1.3

Решить уравнение

Решим уравнение аналитически

Это уравнение вида (1.5). Положим , тогда , поэтому уравнение имеет вид

, .

Разделяя переменные (в предположении, что ) и интегрируя, получим

, .

Так как

, то ,

откуда

; ;

. (А)

Замечание. Если , т.е. , то , , . Это решение получается из формулы (А) при .

Решение в среде MATLAB

1.Решим уравнение аналитически

>> dsolve('D4y=2*D3y')

ans =

C1+C2*t+C3*t^2+C4*exp(2*t)

2.Решим уравнение численно и построим его график.

Для этого необходимо составить задачу Коши (т.е. задать начальные условия),

а также интервал интегрирования и построения графика.

Создаем m.- файл, где задаем условие уравнения:

>> y0=[1 1 1 1];

>> tspan=[0 20];

>> [T,Y]=ode45('ex13',tspan,y0);

>> plot(T,Y(:,1))

2 Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Теоретическая справка

Дифференциальное уравнение

, (2.1)

где - постоянные величины, называется линейным однородным уравнением - го порядка с постоянными коэффициентами.

, (2.2)

где - его линейно независимые частные решения. Последние находятся с помощью характеристического уравнения

. (2.3)

Если характеристическое уравнение имеет действительных различных корней , то каждому из них соответствует частное решение

(2.4)

и общее решение уравнения (2.1) принимает вид

. (2.5)

Если уравнение (2.3) имеет действительных равных корней (т.е. корень имеет кратность ), то в формуле (2.2) им соответствуют решения

. (2.6)

Однократным комплексно сопряженным корням уравнения (2.3) в формуле (2.2) соответствуют решения:

(2.7)

Комплексно сопряженным корням кратности соответствуют частные решения:

(2.8)

Пример 2.1

Решить уравнение .

Решение (аналитическое)

Для данного уравнения с постоянными коэффициентами составим характеристическое уравнение( при этом нужно сохранить коэффициенты, вместо поставить 1, вместо ее производной -того порядка поставить):

Преобразуя правую часть уравнения , получим

откуда

В соответствии с формулой (2.5) получаем общее решение

Решение в MATLAB

Аналитическое:

>> dsolve('D3y-2*D2y-Dy+2*y=0')

ans =

C1*exp(t)+C2*exp(2*t)+C3*exp(-t)

Численное:

>> y0=[1 1 1 ];

>> tspan=[0 20];

>> [T,Y]=ode45('ex21',tspan,y0);

>> plot(T,Y)

Пример 2.2

Решить уравнение .

Решение (аналитическое)

Составим характеристическое уравнение

один из корней которого можно получить методом проб.

Так как

то уравнение принимает вид

откуда . таким образом , характеристическое уравнение имеет один простой (однократный ) корень и двукратный корень .

В соответствии с формулами (2.6) и (2.2) получаем общее решение

MATLAB

>> dsolve('D3y-7*D2y+15*Dy-9*y=0')

ans =

C1*exp(t)+C2*exp(3*t)+C3*exp(3*t)*t

>> y0=[2 0.5 0];

>> tspan=[0 10];

>> [T,Y]=ode45('ex21',tspan,y0);

>> plot(T,Y(:,1))

Пример 2.3

Решить уравнение .

Решение

Характеристическое уравнение

имеет корни

Мнимым сопряженным корням и (для которых ,) соответствуют частные решения

полученные из формул (2.7).

Таким образом, общее решение имеет вид

Решение в MATLAB

>> dsolve('D4y-16*y=0')

ans =

C1*cos(2*t)+C2*sin(2*t)+C3*exp(2*t)+C4*exp(-2*t)

>> y0

y0 =

-5.0000 0.3300 7.0000 -5.0000

>> tspan=[0 1];

>> [t,y]=ode45('ex23',tspan,y0);

>> plot(t,y(:,1))

Пример2.4

Решить уравнение

Составим характеристическое уравнение

Преобразуя левую часть этого уравнения, получим

откуда

Следовательно, комплексно сопряженные корни характеристического уравнения имеют кратность . Так как в данном случае , то в соответствии с формулами (2.8) и (2.2) общее решение примет вид