Неоднородные дифференциальные уравнения высшего порядка с переменными коэффициентами
|
Для полноты картины необходимо рассмотреть также неоднородные уравнения с переменными коэффициентами. Уравнения этого типа записываются в виде
где коэффициенты
С помощью линейного дифференциального оператора L данное уравнение можно записать в компактной форме: где L включает в себя операции дифференцирования, умножения на коэффициенты Как известно, общее решение Для этой цели обычно используется метод вариации постоянных или метод Лагранжа. С помощью данного метода можно сразу получить общее решение неоднородного уравнения, если известно общее решение однородного уравнения. Метод вариации постоянных
Пусть требуется решить неоднородное уравнение n-го порядка:
Предположим, что общее решение однородного уравнения найдено и выражается формулой
содержащей n произвольных постоянных C1, C2,..., Cn. Идея данного метода состоит в том, что постоянные C1, C2,..., Cn заменяются на непрерывно дифференцируемые функции Первые производные функций Неизвестные производные Далее выражения для В результате общее решение неоднородного уравнения записывается в виде В последнем выражении первая сумма соответствует общему решению |
Пример
|
Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение.
Сначала найдем общее решение однородного уравнения
Найдем теперь функцию Теперь найдем решение неоднородного уравнения, используя метод вариации постоянных. Общее решение уравнения представляется в виде |