Дифференциальное уравнение n-го порядка в общем случае имеет вид:
где F − непрерывная функция указанных аргументов.
Порядок уравнения можно понизить, если оно не содержит некоторых аргументов или обладает определенной симметрией. Ниже мы рассмотрим подробнее некоторые случаи понижения порядка применительно к дифференциальным уравнениям произвольного n-го порядка. Преобразование уравнений 2-го порядка изложено здесь. Случай 1. Уравнение вида F(x, y (k), y (k+1),..., y (n)) = 0
Если дифференциальное уравнение не содержит исходной функции и ее k − 1 первых производных, то с помощью замены
порядок такого уравнения понижается на k единиц. В результате исходное уравнение преобразуется к виду
Из полученного уравнения (если это возможно) определяется функция Если дифференциальное уравнение не содержит лишь исходную функцию y, т.е. имеет вид то его порядок можно понизить на единицу с помощью замены Случай 2. Уравнение вида F(y, y', y'',..., y (n)) = 0
Здесь левая часть не содержит независимой переменной x. Порядок уравнения можно понизить с помощью замены Случай 3. Однородное уравнение F(x, y, y', y'',..., y (n)) = 0
Уравнение После определения Случай 4. Функция F(x, y, y', y'',..., y (n)) является точной производной
В некоторых случаях левую часть Рассмотрим примеры на различные случаи понижения порядка. |
Пример 1
|
Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение. |
Пример 2
|
Найти общее решение уравнения
Решение. Найдем второе решение дифференциального уравнения. |
Пример 3
|
Найти общее решение уравнения
Решение. В результате получаем следующее выражение: В начале решения при делении уравнения на y'' было пропущено решение Итак, окончательный ответ содержит две ветви решений: |
Пример 4
|
Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. 1) Первое решение определяется уравнением Для функции Таким образом, второе решение исходного уравнения записывается в виде |