Неоднородные дифференциальные уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами
|
Данные уравнения имеют вид
где a1, a2,..., an − действительные или комплексные числа, а правая часть
Используя линейный дифференциальный оператор Метод вариации постоянных
Предположим, что общее решение однородного дифференциального уравнения n-го порядка известно и представляется формулой
Метод вариации постоянных (или метод Лагранжа) заключается в том, что вместо постоянных чисел C1,C2,..., Cn мы рассматриваем функции Производные n неизвестных функций Метод неопределенных коэффициентов
Если правая часть В этом случае мы ищем частное решение в форме, соответствующей структуре правой части уравнения. Так, например, для функции частное решение имеет вид где В так называемом резонансном случае, когда число α в показательной функции совпадает с корнем характеристического уравнения, в частном решении появляется дополнительный множитель xs, где s равно кратности корня. В нерезонансном случае полагают Такой же алгоритм применяется, когда правая часть уравнения задана в виде Здесь частное решение имеет аналогичную структуру и записывается как где Принцип суперпозиции
Для линейных неоднородных уравнений справедлив принцип суперпозиции, который формулируется следующим образом. Пусть правая часть |
Пример 1
|
Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. В правой части уравнения содержится лишь многочлен. Однако, если учесть, что |
Пример 2
|
Решить дифференциальное уравнение
Решение. Исходя из вида правой части, будем искать частное решение в виде пробной функции |
Пример 3
|
Решить дифференциальное уравнение
Решение. Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Здесь мы имеем резонансный случай, поскольку выражение в правой части соответствует по структуре комплексному корню |
Пример 4
|
Решить уравнение
Решение. Тогда общее решение однородного уравнения записывается в виде Перейдем теперь к построению частного решения неоднородного уравнения. Используя принцип суперпозиции, удобно рассмотреть два неоднородных уравнения вида Заметим, что в обоих уравнениях возникают резонансные случаи. В первом уравнении число 2 в показателе экспоненциальной функции совпадает с корнем |
Пример 5
|
Найти общее решение уравнения, используя метод вариации постоянных: .
Решение. Чтобы построить общее решение неоднородного уранвения, в соответствии с методом вариации постоянных, вместо чисел C1, C2, C3 будем рассматривать функции Подставляя это в общее решение, получаем ответ в следующем виде: |