Однородные дифференциальные уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами
|
Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентамизаписывается в виде
где a1, a2,..., an − постоянные числа, которые могут быть действительными или комплексными.
Используя линейный дифференциальный оператор Согласно основной теореме алгебры, многочлен степени n имеет ровно n корней с учетом их кратности. При этом корни уравнения могут быть как действительными, так и комплексными (даже если все коэффициентыa1, a2,..., an действительные). Рассмотрим более детально различные случаи корней характеристического уравнения и соответствующие формулы общего решения дифференциального уравнения. Случай 1. Все корни характеристического уравнения действительные и различные
Предположим, что характеристическое уравнение Случай 2. Корни характеристического уравнения действительные и кратные
Пусть характеристическое уравнение Случай 3. Корни характеристического уравнения комплексные и различные
Если коэффициенты дифференциального уравнения являются действительными числами, то комплексные корни характеристического уравнения будут представляться в виде пар комплексно-сопряженных чисел:
В этом случае общее решение записывается как
Случай 4. Корни характеристического уравнения комплексные и кратные
Здесь каждой паре комплексно-сопряженных корней |
Пример 1
|
Решить дифференциальное уравнение
Решение. |
Пример 2
|
Решить уравнение
Решение. |
Пример 3
|
Решить уравнение
Решение. |
Пример 4
|
Решить уравнение
Решение. |
Пример 5
|
Решить уравнение
Решение. |