Подбор частных решений линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью.

   Случай для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью имеющей вид полинома от x степени m

   Для уравнения с постоянными коэффициентами в случае, когда правая часть имеет специальный вид, удается найти частное решение методом неопределенных коэффициентов (методом подбора частных решений).

   Рассмотрим этот метод для уравнения n-го порядка вида

            L(y) ≡ y ⁽ⁿ⁾ + a₁ y ^{(n – 1)} + … + a_{n – 1} y ' + a_n y = P_m (x)e ^αx,       (14.1)

где a₁, …, a_n — действительные числа, α — действительное число, P_m (x) — полином от x степени m, которая может быть равной нулю, так что этот полином может вырождаться в число, отличное от нуля.

   Метод неопределенных коэффициентов состоит в том, что задается вид частного решения с неопределенными коэффициентами, которые определяются подстановкой в данное уравнение. Вид частного решения уравнения зависит от того, совпадает ли число α с корнями характеристического уравнения:

1. Если α не является корнем характеристического уравнения, то частное решение имеет вид

                y₁ = Q_m (x)e ^αx,

   где Q_m (x) — полином степени m с коэффициентами, подлежащими определению.

2. Если α является корнем характеристического уравнения кратности k, то

               y₁ = x^k Q_m (x)e ^αx,

   т. е. частное решение приобретает множитель x^k.

   Случай для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью имеющей вид:

            e ^αx(P₁ (x)cos bx + P₂ (x)sin bx).

   Рассмотрим уравнение

            L(y) ≡ y ⁽ⁿ⁾ + a₁ y ^{(n – 1)} + … + a_{n – 1} y ' + a_n y = e ^αx(P₁ (x)cos bx + P₂ (x)sin bx),       (14.2)

где α и b — действительные числа, P₁ и P₂ — полиномы от x, старшая степень которых равна m, так что один из них обязательно имеет степень m, а степень другого не превосходит m, и он может быть даже тождественно равен нулю.

   Составим комплексное число α + ib, где действительная часть α есть коэффициент показателя множителя e^αx, а мнимая часть b — коэффициент аргумента bx функций cos bx и sin bx.

   Укажем вид частного решения уравнения (14.2) в двух случаях:

1. Если число α + ib не является корнем характеристического уравнения, то

               y₁ = e ^αx(Q₁ (x)cos bx + Q₂ (x)sin bx),

   где Q₁ и Q₂ — полиномы степени m с неопределенными коэффициентами; причем надо брать оба эти полинома даже в том случае, когда один из полиномов P₁ и P₂ тождественно равен нулю.

2. Если число α + ib есть корень характеристического уравнения кратности k, то

               y₁ = x^ke ^αx(Q₁ (x)cos bx + Q₂ (x)sin bx),

   т. е. частное решение приобретает множитель x^k.

ПРИМЕР 15.2. Найти общее решение уравнения
y′′ − 2y′ + y = 8e3x .
РЕШЕНИЕ. Сначала рассмотрим соответствующее однородное уравнение
y′′ − 2y′ + y = 0.
Так как его характеристическое уравнение λ2 − 2λ +1 = 0 имеет корни
λ1,2 =1, то общее решение однородного уравнения будет иметь вид
y C ex C xex = 1 + 2 .
Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Правая
часть является произведением числа и показательной функции e3x :

f (x) = 8e3x ⇒ α = 3, β = 0, s = 0.
При этом число α ±βi = 3 не является корнем характеристического урав-
нения. Поэтому частное решение y ~ неоднородного уравнения надо искать
в виде ~y = Ae3x ,
где A – неизвестный коэффициент.
Имеем: ~y′ = 3Ae3x , ~y′′ = 9Ae3x .
Подставим ~y, ~y′, ~y′′ в неоднородное уравнение и получим
9Ae3x − 2⋅3Ae3x + Ae3x = 8e3x ,
⇒ 4Ae3x = 8e3x ,
⇒ 4A = 8 или A = 2.
Таким образом, ~y = 2e3x – частное решение неоднородного уравне-
ния, а его общее решение имеет вид
( 1 2 )
y = C ex + C xex + 2e3x .